Question

在平面直角坐標系中，直線（k為常數(shù)且k≠0）分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O半徑為個單位長度．

⑴如圖甲，若點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，且OA=OB．

①求k的值；

②若b=4，點P為直線上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，當PC⊥PD時，求點P的坐標．

⑵若，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，求b的值．（圖乙供選用）

     

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

①k＝－1

②P的坐標為（1，3）或（3，1）

（2）b的值為或

【解析】⑴①根據(jù)題意得：B的坐標為（0，b），∴OA=OB=b，

∴A的坐標為（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.

②過P作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)OD.

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，

∴OD＝PD＝，OP=.

∵P在直線y＝－x＋4上，

設(shè)P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，

∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，

∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，

解得m=1或3，

∴P的坐標為（1，3）或（3，1）

⑵分兩種情形，y＝－x＋，或y＝－x－。

直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，可知其所對圓心角為120°，

如圖，畫出弦心距OC，可得弦心距OC=，

又∵直線中∴直線與x軸交角的正切值為，即，∴AC=，進而可得AO=，即直線與與x軸交于點（，0）．

所以直線與y軸交于點（，0），所以b的值為．

當直線與x軸、y軸的負半軸相交，同理可求得b的值為．

綜合以上得：b的值為或．