Question

12．在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于點C，A、B兩點的橫坐標x_A、x_B是關(guān)于x的方程x²+3x-4=0的兩個根．
（1）求點C的坐標；
（2）若∠ACB的平分線所在的直線l交x軸于點D，求直線l對應的一次函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點D任作一直線l′分別交射線CA、CB（點C除外）于點M、N，則$\frac{1}{CM}$+$\frac{1}{CN}$的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由x_A、x_B是關(guān)于x的方程x²+3x-4=0，OA＞OB，解方程得到x_A=4，x_B=1，求得OA=4，OB=1，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，由射影定理得到OC²=OA•OB=4，于是得到結(jié)論；
（2）如圖，過點D作DE⊥AC，過點D作DF⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，DE∥BC，求得∠ECD=∠EDC=45°，根據(jù)射影定理得到AC²=AD•AB，求得AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，由DE∥BC得到$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，等量代換得到$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{DE}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{BC}$，求得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=2，設BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=$\frac{5}{3}$，則OD=$\frac{2}{3}$，即D（-$\frac{2}{3}$，0），設直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，代入點的坐標即可得到結(jié)論．
（3）由（2）知因為CD為∠ACB的平分線，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，得到$\frac{DE}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，由△DNF∽△MNC，得到$\frac{DF}{MC}$=$\frac{DN}{MN}$，于是得到$\frac{DE}{CN}$+$\frac{DF}{MC}$=$\frac{MD}{MN}$+$\frac{DN}{MN}$=1，則DE（$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$）=1，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵x_A、x_B是關(guān)于x的方程x²+3x-4=0，OA＞OB，
∴x_A=4，x_B=1，
∴OA=4，OB=1，
∵以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于點C，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；

（2）如圖，過點D作DE⊥AC，過點D作DF⊥BC，
∵CD是∠ACB的角平分線，
∴DE=DF，DE∥BC，
∴∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，AC²=AD•AB，
∴AC=2$\sqrt{5}$，BC²=BD•AB，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，
∵DE=EC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{DE}$，
∵△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∵AB=5，設BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，
解得DB=x=$\frac{5}{3}$，
則OD=$\frac{2}{3}$，即D（-$\frac{2}{3}$，0），
設直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{2}{3}k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線l對應的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2；

（3）由（2）知：CD為∠ACB的平分線，DE=DF．
∵DE∥BC，
∴△MDE∽△MNC，
∴$\frac{DE}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，
∵DF∥AC，
∴△DNF∽△MNC，
∴$\frac{DF}{MC}$=$\frac{DN}{MN}$，
∴$\frac{DE}{CN}$+$\frac{DF}{MC}$=$\frac{MD}{MN}$+$\frac{DN}{MN}$=1，
∴DE（$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$）=1
∴$\frac{1}{CN}$+$\frac{1}{CM}$=$\frac{1}{DE}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{5}$．

點評 主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是會靈活地運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．