Question

20．已知拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，6），且經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線y=x上，且PA+PB的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-4）²+6，然后把B（0，2）代入求出a的值即可．
（2）先作出點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B′，再連接AB′，求出直線A′B的函數(shù)解析式，再聯(lián)立直線y=x列方程組即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得PA+PB的最小值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+6，
把（0，2）代入得16a+6=2，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+6．
（2）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B′，
則PB=PB′，
故PA+PB=PB′+PA=AB′，
由圖知，只有當(dāng)A、P、B′共線時(shí)，PA+PB最小，
又由B與B′關(guān)于y=x對(duì)稱知，B′（2，0），
由A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)得AB′的解析式為y=3x-6，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得x=y=3，
故當(dāng)PA+PB最小時(shí)，P的坐標(biāo)為（3，3）．
AB′=$\sqrt{（4-2）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$
∴PA+PB的最小值為2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式：要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了軸對(duì)稱--最短路線問題，綜合運(yùn)用了一次函數(shù)和方程組的知識(shí)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．