Question

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和G（4，0）的兩條拋物線y₁=a₁x²+b₁x，y₂=a₂x²+b₂x，頂點(diǎn)分別為A，B，且都在第1象限，連接BA交x軸于T，且BA=AT=3．
（1）分別求出拋物線y₁和y₂的解析式；
（2）點(diǎn)C是拋物線y₂的x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)，作CE⊥x軸于E，交拋物線y₁于D，試判斷CD和DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）直線x=m，交拋物線y₁于M，交拋物線y₂于N，是否存在以點(diǎn)M，N，B，T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形和已知，可得出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，又已知G點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入解析式中，即可得出兩函數(shù)式的解析式；
（2）根據(jù)題意，可分別用含t的表達(dá)式將CD和CE表示出，即可得出CD和DE之間的關(guān)系．
（3）假設(shè)存在四邊形BTNM為平行四邊形時(shí)，分別表示出M和N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出MN的長(zhǎng)度，解方程即可得出m的值．

解答：解：（1）∵BA=AT=3，
∴A（2，3），B（2，6）．
∵y₁=a₁x²+b₁x過(guò)A（2，3）和G（4，0）．
依題意得：

4a1+2b1=3 16a1+4b1=0

解得

a1=- 3 4 b1=3

∴y1=-

3

4

x2+3x．
同理y2=-

3

2

x2+6x．

（2）CD=ED．
證明；設(shè)OE=t，0＜t＜4．
∵D在y1=-

3

4

x2+3x．上，
∴DE=-

3

4

t2+3t．
∵C在y2=-

3

2

x2+6x上，
∴CE=-

3

2

t2+6t．
∴CD=CE-DE=（-

3

2

t2+6t）-（-

3

4

t2+3t）=-

3

4

t2+3t．
∴CD=DE．

（3）由于MN∥BT，當(dāng)假設(shè)存在四邊形BTNM為平行四邊形時(shí)，則BT=MN=6．
∵M(m，-

3

4

m2+3m)，N(m，-

3

2

m2+6m)
∴MN=(-

3

4

m2+3m)-(-

3

2

m2+6m)=

3

4

m2-3m．
依題意，得：6=|

3

4

m2-3m|.

3

4

m2-3m=-6，此方程無(wú)解，

3

4

m2-3m=6，
解之得：∴m=2±2

3

．
∴存在m=2±2

3

使得以點(diǎn)M，N，B，T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．