Question

17．⊙O的弦CD垂直于它的直徑AB于M，且AM：MB=1：4，則BC：CA=2．

Answer 1

分析 如圖所示：由垂徑定理可知：MC=DM，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$．設(shè)AM=x，則MB=4x．由相交玄定理可知：CM²=AM•MB，從而可求得MC=2x，然后證明△ACM∽△CBM，由相似三角形的性質(zhì)可知：$\frac{BC}{AC}=\frac{BM}{CM}=\frac{4x}{2x}$=2．

解答 解；如圖所示：

∵AB⊥CD，AB為圓O的直徑，
∴MC=DM，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$．
設(shè)AM=x，則MB=4x．
由相交弦定理可知：MC•MD=AM•BM，即CM²=AM•MB．
∴MC=2x．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴∠ACB=∠AMC．
∵$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴∠ACM=∠CBM．
∴△ACM∽△CBM．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BM}{CM}=\frac{4x}{2x}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、垂徑定理的應(yīng)用，求得MC長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．