Question

以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：
（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？

Answer 1

解：（1）圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：
∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
 ，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的對角線，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=360°-90°-∠BAC-45°
=225°-∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．

（2）當四邊形ADEG是矩形時，∠DAG=90°．
則∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，
即當∠BAC=135°時，平行四邊形ADEG是矩形；

（3）當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，當∠DAG=90°時，∠BAC=135°．
∵四邊形ABDI是正方形，
∴AD=AB．
又∵四邊形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=AB．
∴當∠BAC=135°且AC=AB時，四邊形ADEG是正方形．
分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結論；
（2）根據(jù)“矩形的內角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的內角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質證得，AC=AB．
點評：本題綜合考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識點．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360°．