Question

4．如圖，直線AB：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，直線AC與AB關(guān)于y軸對稱，交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P、Q分別是線段BC、AC上兩個動點(diǎn)，且∠APQ始終等于30°．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，0）；∠ABC=30度；
（2）若⊙O與AB相切，則⊙O的半徑等于4；
（3）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）時，求CQ的長；
（4）當(dāng)△APQ為等腰三角形時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由B點(diǎn)是直線AB與x軸的交點(diǎn)，故令y=0，解出x的值即為B點(diǎn)的坐標(biāo)，A點(diǎn)是直線AB與y軸的交點(diǎn)，令x=0，可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，由三角函數(shù)的正弦值可得出∠ABC的值；（2）圓與直線相切，圓的半徑就等于圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)論；（3）由兩個等于30°的角和一個公共角可得出△CAP∽△PAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可找出AQ的值，再由CQ=AC-AQ，即可得出結(jié)論；（4）若三角形為等腰三角形，只需兩條邊相等即可，在此分哪兩條邊相等來討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則有0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=8．
即點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，0）．
令x=0，則有y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．
∴AO=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，BO=8，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．
故答案為：（8，0）；30．
（2）∵⊙O與AB相切，
∴⊙O的半徑為點(diǎn)O到直線AB的距離．
直線AB：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$可變形為$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+y-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=0．
點(diǎn)O到直線AB的距離=$\frac{|0+0-\frac{8\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4．
∴⊙O的半徑為4．
故答案為：4．
（3）∵直線AC與AB關(guān)于y軸對稱，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-8，0），∠ACB=∠ABC=30°．
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0），
∴AO=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CO=8，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，PO=2，CP=CO-PO=6，AP=$\sqrt{A{O}^{2}+P{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{57}}{3}$．
∵∠CAP=∠PAQ，∠ACP=∠APQ=30°，
∴△CAP∽△PAQ，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AP}{AC}$，AQ=$\frac{A{P}^{2}}{AC}$=$\frac{19\sqrt{3}}{12}$．
CQ=AC-AQ=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）時，CQ的長為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
（4）△APQ為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AQ=PQ時，如圖1，

∵∠APQ=30°，AQ=PQ，
∴∠PAQ=30°，
∵∠ACO=30°，∠CAO=90°-∠ACO=60°，
∴∠PAO=∠CAO-∠PAQ=30°．
∵AO⊥BC，
∴PO=AO•tan∠PAO=$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，0）．
②當(dāng)AP=AQ時，如圖2，

此時P點(diǎn)與B點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，0）．
③當(dāng)AP=PQ時，如圖3，

∵∠APQ=30°，∠PAQ=∠PQA=$\frac{（180°-30°）}{2}$=75°，
∴∠CPA=180°-∠ACP-CAP=180°-30°-75°=75°，
∴∠CAP=∠CPA=75°，
∴CP=CA=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
OP=CP-CO=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，0）．
綜上可知：當(dāng)△APQ為等腰三角形時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）或（-$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，0）．

點(diǎn)評 本題以一次函數(shù)的綜合應(yīng)用為背景考查了一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、相似三角形的判定及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）會求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題以及知道特殊角的三角函數(shù)值；（2）明白圓與直線相切，半徑等于圓心到直線的距離；（3）能發(fā)現(xiàn)相似三角形，會用相似三角形的判定及性質(zhì)解決問題；（4）知道等腰三角形的性質(zhì)．本題屬于中等難度題，易出現(xiàn)錯誤的地方在（4）中，會落下當(dāng)AP=AQ時這種情況．