【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿與y軸平行的方向向上運(yùn)動(dòng),連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),∠OMB=90°?
(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),
∴ ,
∴ ,
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2;
(2)
解:如圖1,
由(1)知y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ (x﹣2)2+ ;
∵D為拋物線的頂點(diǎn),
∴D(2, ),
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),
∴設(shè)M(2,m),(m> ),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,OB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=OB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m= 或m=﹣ (舍),
∴M(0, ),
∴MD= ﹣ ,
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),
∴t= ﹣ ;
(3)
解:存在點(diǎn)P,使∠PBF被BA平分,
如圖2,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點(diǎn)N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣ x+1①,
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣ x2+ x﹣2②上,
聯(lián)立①②得 ,
解得 或 (舍去),
∴P( , ).
【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)設(shè)出點(diǎn)M,用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出MD,最后求出時(shí)間t;(3)由∠PBF被BA平分,確定出過(guò)點(diǎn)B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點(diǎn)即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,E是直線AB,CD內(nèi)部一點(diǎn),AB∥CD,連接EA,ED.
(1)探究猜想:
①若∠A=20°,∠D=40°,則∠AED= °
②猜想圖①中∠AED,∠EAB,∠EDC的關(guān)系,并用兩種不同的方法證明你的結(jié)論.
(2)拓展應(yīng)用:
如圖②,射線FE與l1,l2交于分別交于點(diǎn)E、F,AB∥CD,a,b,c,d分別是被射線FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域(不含邊界,其中區(qū)域a,b位于直線AB上方,P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn),猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的關(guān)系(任寫(xiě)出兩種,可直接寫(xiě)答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】銷(xiāo)售有限公司到某汽車(chē)制造有限公司選購(gòu)A、B兩種型號(hào)的轎車(chē),用300萬(wàn)元可購(gòu)進(jìn)A型轎車(chē)10輛,B型轎車(chē)15輛;用300萬(wàn)元可購(gòu)進(jìn)A型轎車(chē)8輛,B型轎車(chē)18輛.
(1)求A、B兩種型號(hào)的轎車(chē)每輛分別多少元?
(2)若該汽車(chē)銷(xiāo)售公司銷(xiāo)售一輛A型轎車(chē)可獲利8000元,銷(xiāo)售一輛B型轎車(chē)可獲利5000元,該汽車(chē)銷(xiāo)售公司準(zhǔn)備用不超過(guò)400萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)轎車(chē)共30輛,且這兩種轎車(chē)全部售出后總獲利不低于20.4萬(wàn)元,問(wèn):有幾種購(gòu)車(chē)方案?在這幾種購(gòu)車(chē)方案中,哪種獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意填空,完成本題的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái):
(Ⅳ)原不等式組的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,C為線段BE上的一點(diǎn),分別以BC和CE為邊在BE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形CEFG,M、N分別是線段AF和GD的中點(diǎn),連接MN
(1)線段MN和GD的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,如圖②,(1)的結(jié)論是否成立?說(shuō)明理由;
(3)已知BC=7,CE=3,將圖①中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周,其他條件不變,直接寫(xiě)出MN的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,MN是⊙O的直徑,MN=4,∠AMN=40°,點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為( )
A.2
B.2
C.2
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小張同學(xué)學(xué)完統(tǒng)計(jì)知識(shí)后,隨機(jī)調(diào)查了她所在轄區(qū)若干名居民的年齡,將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成如下扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)根據(jù)以上不完整的統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)小張同學(xué)共調(diào)查了 名居民的年齡,扇形統(tǒng)計(jì)圖中a= ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并注明人數(shù);
(3)若該轄區(qū)年齡在0~14歲的居民約有3500人,請(qǐng)估計(jì)該轄區(qū)居民人數(shù)是多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知AD∥BC,∠B=∠D.
(1)求證:AB∥CD;
(2)如圖2,點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠EAD與∠BCD的角平分線交于點(diǎn)P.
①求∠APC的度數(shù);
②連接DP,若∠PDC=750,則∠DPC-∠B=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y),我們把P’(y1,x1)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn),已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為,點(diǎn)的友好點(diǎn)為,點(diǎn)的友好點(diǎn)為,…,這樣依次得到點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),則點(diǎn)的坐標(biāo)為___,點(diǎn)的坐標(biāo)為___;
(2)若的坐標(biāo)為(3,2),則設(shè) (x,y),求x+y的值;
(3)設(shè)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a,b),若,,,…,點(diǎn)均在y軸左側(cè),求a、b的取值范圍.
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