Question

6．如圖，tan∠QCF=2，點E在射線CQ上，CE=12，點P是∠QCF內(nèi)一點，PE⊥QC于點E，PE=4，在射線CQ上取一點A，連AP并延長射線CF于點B，作BD⊥QC于點D．
（1）當(dāng)AE的長度為多少時，△APE和△BDC相似；
（2）當(dāng)點P是線段AB中點時，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）連結(jié)BE，當(dāng)S_△APE=S_△EBC時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥FC，PF⊥QC，得到∠APE=∠C，根據(jù)tan∠QCF=2，求得tan∠APE=2；由△APE∽△CBD，得到∠C=∠PAE，于是得到tan∠PAE=2，在Rt△APE中，PE=4，于是求得AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{4}{2}$=2，
（2）△ABC為直角三角形由PE∥BD，推出△APE∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$求得BD=8，CD=4，通過△APE∽△BCD，得到∠DBC=∠PAE，于是得到∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，從而證得結(jié)論；
（3）如圖，連接BE，設(shè)DC=a，則BD=2a，得到S_△APE=S_△EBC，=12a，由△APE∽△ABD，得到比例式$\frac{PE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，解方程$\frac{4}{2a}$=$\frac{6a}{6a+12-a}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵AB⊥FC，PF⊥QC，
∴∠APE=∠C，
∵tan∠QCF=2，
∴tan∠APE=2．
∵△APE∽△CBD，
∴∠C=∠PAE，
∴tan∠PAE=2，
在Rt△APE中，PE=4，
∴AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{4}{2}$=2；

（2）△ABC為直角三角形，理由如下：
∵PE∥BD，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$．
∵點P是線段AB中點，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PE}{BD}$=$\frac{1}{2}$．
∵PE=4，
∴BD=8，
∴CD=4，
∴DE=12-4=8，
∴AE=8，
∵$\frac{AE}{BD}$=$\frac{PE}{CD}$=1，∠AEP=∠BDF，
∴△APE∽△BCD，
∴∠DBC=∠PAE，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（4）如圖，連接BE，設(shè)DC=a，則BD=2a，
∴S_△EBC=12a，
∵S_△APE=S_△EBC，=12a，
∵PE=4，
∴AE=6a，
∵△APE∽△ABD，
∴$\frac{PE}{BD}$=$\frac{AE}{AD}$，即 $\frac{4}{2a}$=$\frac{6a}{6a+12-a}$，
解得：a=3（負(fù)值舍去），
∴AE=18．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．進(jìn)行分類討論是解決第一問的關(guān)鍵．