Question

已知拋物線y=ax²+bx+c ，當(dāng)x=0時(shí)，有最小值為1 ；且在直線y=2上截得的線段長(zhǎng)為4 .

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到X軸的距離為d₁ ，點(diǎn)P 與點(diǎn) F （0，2）的距離為d ₂  ，猜想d₁、 d ₂ 的大小關(guān)系，并證明；

（3）若直線PF交此拋物線于另一點(diǎn)Q（異于P點(diǎn)）。 試判斷以PQ為直徑的圓與x 軸的位置關(guān)系，并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）求此拋物線的解析式：  y=              

（2）猜想：d₁ = d ₂ .                               

設(shè)d的坐標(biāo)為（x, 0.25x²+1）

d₁=  

 = ｜0.25x²+1 |

∴d₁=           

(3) 以PQ為直徑的圓與x 軸相切                

設(shè)Q到x軸的距離為m，到F的距離為n，

根據(jù)（2）的結(jié)論，有m=n，

過PQ的中點(diǎn)作x的垂線，設(shè)其長(zhǎng)度為h，

易得h=（m+d₁），

同時(shí)有PQ=（n+d₂）=（m+d₁），

為h的2倍，

故以PQ為直徑的圓與x軸相切.                                      

【解析】（1）由x=0時(shí)，有最小值為1得（0，1）點(diǎn)經(jīng)過拋物線，由在直線y=2上截得的線段長(zhǎng)為4得出（2，2）、（-2，2）點(diǎn)經(jīng)過拋物線，把這三點(diǎn)代入求出拋物線的解析式；

（2）由勾股定理即可d₁ = ；

（3）由（2）的結(jié)論，找PQ的中點(diǎn)到x軸的距離與PQ的大小關(guān)系，容易證得兩者相等；故以PQ為直徑的圓與x軸相切．