Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0.

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長(zhǎng)為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值.

Answer 1

分析：（1）證明這個(gè)一元二次方程的根的判別式大于0，根據(jù)一元二次方程的根的判別式的性質(zhì)得到這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）求出方程的根，根據(jù)等腰三角形的判定分類(lèi)求解.

（1）證明：∵ 關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k²+k，

∴ Δ=b²-4ac=［-（2k+1）］²-4×1×（k²+k）＝1＞0.

∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）解：∵ 由x²-（2k+1）x+k²+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0，

∴ 方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為x₁=k,x₂=k+1.

∵ △ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，∴ 有如下兩種情況：

情況1：x₁=k=5，此時(shí)k=5，滿足三角形構(gòu)成條件；

情況2：x₂=k+1＝5，此時(shí)k=4，滿足三角形構(gòu)成條件.

綜上所述，k=4或k=5.

點(diǎn)撥：一元二次方程根的情況與判別式Δ的關(guān)系：

（1）Δ＞0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）Δ=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）Δ＜0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.