Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1，3．與y軸負半軸交于點C，在下面五個結(jié)論中：
①2a-b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④只有當a=

1

2

時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個．
其中正確的結(jié)論是

 

．（只填序號）

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系,等腰三角形的判定

專題：

分析：先根據(jù)圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．

解答：解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對稱軸x=-

b

2a

=1，
即2a+b=0．
故①錯誤；

②根據(jù)圖示知，當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0．
故②錯誤；

③∵A點坐標為（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a．
故③正確；

④當a=

1

2

，則b=-1，c=-

3

2

，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
把x=1代入得y=

1

2

-1-

3

2

=-2，
∴D點坐標為（1，-2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，
∴△ADB為等腰直角三角形．
故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
當AB=BC=4時，
∵AO=1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長即為|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c=-

7

，
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

7

3

；
同理當AB=AC=4時
∵AO=1，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長即為|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c=-

15

與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

15

3

；
同理當AC=BC時
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程無解．
經(jīng)解方程組可知只有兩個a值滿足條件．
故⑤錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論是③④．
故答案是：③④．

點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與系數(shù)的關系：當a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）．