Question

閱讀下面材料：

小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在中，點在線段上，，，，，求的長．

小騰發(fā)現(xiàn)，過點作，交的延長線于點，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

請回答：的度數(shù)為 ，的長為 ．

參考小騰思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形中，，，，與交于點，，，求的長．

 

 

 

Answer 1

∠ACE的度數(shù)為75°，AC的長為3.

【解析】

試題分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性質(zhì)可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3

圖3中，由已知的條件可知△ACD是等腰三角形，因為∠BAC=90°，因此可過點D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函數(shù)、勾股定理加以解決

試題解析：圖（2）：∠ACE的度數(shù)為75°，AC的長為3.

圖（3）：過點D作DF⊥AC于F

∵∠BAC=90°

∴AB//DF

∴△ABE∽△FDE

∴EF=1

∵在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°

∴∠ACD=75°

∴AC=AD

∵DF⊥AC

∴∠AFD=90°

在△AFD中，AF＝２+１＝３，∠FAD＝３０°

∴DF＝AFtan30°＝，AD=2DF=2

∴AC=2，AB=2DF==2

考點：1、等腰三角形的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù)的應(yīng)用