【題目】已知,在中,,點為直線上一動點(點不與點重合).以為邊作正方形連接

觀察猜想:

(1)如圖1,當(dāng)點在線段上時,判斷之間數(shù)量關(guān)系,并證明;

     

類比探究:

(2)如圖2,當(dāng)點在線段的延長線上時,其他條件不變,請直接寫出三條線段之間的關(guān)系;

拓展延伸:

(3)如圖3,當(dāng)點在線段的反向延長線上時,且點分別在直線的兩側(cè),其他條件不變;

①請直接寫出三條線段之間的關(guān)系;

②若正方形的邊長為、對角線相交于點,連接,求的長度.

【答案】1;證明見解析;(2);(3)①,②

【解析】

1)根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACF,由△ABD≌△ACF的性質(zhì)和線段的和可得結(jié)論;

2)同理證明△ABD≌△ACF,可得BCCF,由BD=BC+CD,BD=CF,可得新的結(jié)論:;

3)①根據(jù)圖3知:DC最長,同理:△DAB≌△FAC,則BD=CF,可得BC=DC-CF;

②先根據(jù)正方形的邊長求對角線DF的長,證明∠DCF=90°,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得OC的長.

證明:,

四邊形是正方形,

,

,

則在中,

,

,

2)證明:如圖2,

在正方形ADEF中,AD=AF,∠DAF=90°,

∵∠BAC=90°

∴∠BAC+CAD=DAF+CAD,即∠BAD=CAF,

∵∠ABC=45°,

∴∠ACB=180°-BAC-ABC=45°

∴∠ABC=ACB,

AB=AC,

ABDACF中,

∴△ABD≌△ACF,

∴∠ACF=ABD=45°,BD=CF

∵∠ACB=45°,

∴∠BCF=ACB+ACF=90°,

BCCF

BD=BC+CD,BD=CF,

3)①理由是:如圖3,

同理得:∠DAB=∠FAC,

與(2)同理,可證△DAB≌△FAC,

∴BD=CF,

∴DC=BD+BC=CF+BC

∴BC=DC-CF;

,

四邊形是正方形,

,

中,

,

,

,

,

是直角三角形.

正方形的邊長為

且對角線相交于點

中點.

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