Question

已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應(yīng)P的坐標（m，n），設(shè)g（x）=mx+

n

x

-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關(guān)于x的方程：mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx根的個數(shù)．

Answer 1

分析：首先（1）求證函數(shù)恒成立的問題，可以根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，然后直接求得結(jié)果．
（2）討論關(guān)于x的方程根的個數(shù)可以求導(dǎo)函數(shù)，然后判斷其單調(diào)性后，分段討論在各個區(qū)間根的情況．

解答：解：（1）由題意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴g(x)=mx+

n

x

-2lnx=x-

1

x

-2lnx
∴g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0對于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx；
∴2lnx=2x³-4ex²+tx
∵x＞0，∴方程為

2lnx

x

=2x2-4ex+t
令L(x)=

2lnx

x

，H（x）=2x²-4ex+t，
∵L′(x)=2

1-lnx

x2

，當x∈（0，e）時，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上為增函數(shù)；x∈[e，+∞）時，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上為減函數(shù)，
當x=e時，L(x)max=L(e)=

2

e

H（x）=2x²-4ex+t=2（x-e）²+t-2e²，
∴可以分析①當t-2e2＞

2

e

，即t＞2e2+

2

e

時，方程無解．
②當t-2e2=

2

e

，即t=2e2+

2

e

時，方程有一個根．
③當t-2e2＜

2

e

，即t＜2e2+

2

e

時，方程有兩個根．

點評：此題主要考查函數(shù)恒成立的問題的證明及根存在性及根個數(shù)的判斷問題，其中應(yīng)用到用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性極值的思想，有一定的計算量，屬于綜合性試題．