Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，A（0，12），B（40，0），C（36，12），點P從點A出發(fā)，以1個單位/s的速度向點C運動；點Q從B同時出發(fā)，以2個單位/s的速度向點O運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為ts．
（1）求過O，C，B三點的拋物線解析式；
（2）求證：△OCB為直角三角形；
（3）t為何值時，PQ=BC；
（4）在（1）中的拋物線上，是否存在點M，使以O，M，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出此時t的值和M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）過點C作CH⊥OB，垂足為H，運用勾股定理及其逆定理就可解決問題．
（3）由PQ=BC可分四邊形PCBQ是平行四邊形和等腰梯形兩種情況進行討論，就可以解決問題．
（4）分別以PQ為平行四邊形的邊和對角線進行討論，就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

由題可設y=ax（x-40），
∵點C（36，12）在拋物線y=ax（x-40）上，
∴a×36×（36-40）=12．
解得：a=-

1

12

．
∴y=-

1

12

x（x-40）=-

1

12

x²+

10x

3

．
∴過O，C，B三點的拋物線的解析式為y=-

1

12

x²+

10x

3

．

（2）證明：過點C作CH⊥OB，垂足為H，如圖2，

∵點C坐標為（36，12），點B的坐標為（40，0），
∴OH=36，CH=12，OB=40．
∴OC²=OH²+CH²=36²+12²=1440，BC²=CH²+BH²=12²+（40-36）²=160．
∴OC²+BC²=1600=OB²．
∴∠OCB=90°．
∴△OCB是直角三角形．

（3）①若四邊形PCBQ是平行四邊形，如圖3，

則有PC=BQ．
∵AP=t，BQ=2t，AC=36，OB=40，
∴36-t=2t．
解得：t=12．
②若四邊形PCBQ是等腰梯形，
過點P作PG⊥OB，垂足為G，如圖4，

∵四邊形PCBQ是等腰梯形，
∴PQ=CB，∠PQG=∠CBH．
在Rt△PGQ和Rt△CHB中，

∠PQG=∠CBH ∠PGQ=∠CHB PQ=CB

∴Rt△PGQ≌Rt△CHB（AAS）
∴GQ=BH，PG=CH．
∵∠PGH=∠CHB=90°．
∴PG∥CH．
∴四邊形PCHG是平行四邊形．
∴PC=GH．
∴36-t=2t-2×4．
解得：t=

44

3

．
綜上所述：當t為12秒或

44

3

秒時，PQ=BC

（4）①PQ為平行四邊形的一條邊，
Ⅰ．若四邊形OPQM是平行四邊形，如圖5①，

過點P作PR⊥OB，垂足為R，過點M作MS⊥OB，垂足為S，
∵四邊形OPQM是平行四邊形，
∴PQ∥OM，PQ=OM．
∴∠MOQ=∠PQO．
∴∠SOM=∠RQP．
在△OSM和△QRP中，

∠SOM=∠RQP ∠OSM=∠QRP OM=PQ

，
∴△OSM≌△QRP（AAS）．
∴SM=RP，OS=QR．
∵RP=12，
∴SM=12．
∴y_M=-12．
∴-

1

12

x²+

10x

3

=-12．
解得：x₁=20+4

34

（舍去），x₂=20-4

34

．
此時點M的坐標為（20-4

34

，-12），
QR=OS=4

34

-20，
OQ=OR-QR=AP-QR=t-（4

34

-20）=40-2t，
解得：t=

20+4 34

3

．
Ⅱ．若四邊形OQPM是平行四邊形，如圖5②，

則有PM=OQ．
當y=12時，-

1

12

x²+

10x

3

=12，
解得：x₁=4，x₂=36（舍去）．
此時點M的坐標為（4，12），
PM=t-4，OQ=40-2t，
則有t-4=40-2t．
解得：t=

44

3

．
②PQ為平行四邊形的一條對角線，如圖6，

則四邊形OPMQ是平行四邊形．
∴PM∥OQ，PM=OQ．
∵點M既在PC上，又在拋物線上，
∴點M與點C重合，即點M的坐標為（36，12），
由PM=OQ得36-t=40-2t，
解得：t=4．
綜上所述：當t=

20+4 34

3

時，M（20-4

34

，-12）；當t=

44

3

時，M（4，12）；當t=4時，M（36，12）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理等知識，有一定的綜合性．