Question

閱讀下面材料，再回答問題．
一般地，如果函數(shù)y=f（x）對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）．那么y=f（x）就叫偶函數(shù)．如果函數(shù)y=f（x）對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x）．那么y=f（x）就叫奇函數(shù)．
例如：f（x）=x⁴
當(dāng)x取任意實數(shù)時，f（-x）=（-x）⁴=x⁴∴f（-x）=f（x）∴f（x）=x⁴是偶函數(shù)．
又如：f（x）=2x³-x．
當(dāng)x取任意實數(shù)時，∵f（-x）=2（-x）³-（-x）=-2x³+x=-（2x³-x）∴f（-x）=-f（x）∴f（x）=2x³-x是奇函數(shù)．
問題1：下列函數(shù)中：①y=x²+1②y=

5

x3

③y=

x+1

④y=x+

1

x

⑤y=x^-2-2|x|
是奇函數(shù)的有

 

；是偶函數(shù)的有

 

（填序號）
問題2：仿照例證明：函數(shù)④或⑤是奇函數(shù)還是偶函數(shù)（選擇其中之一）     （4分）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目信息，求出f（-x）的值，如果f（-x）=f（x），則是偶函數(shù)，如果f（-x）=-f（x），則是奇函數(shù)；
（2）同（1）的思路進行計算即可證明．

解答：解：問題1：①y=（-x）²+1=x²+1，
∴①是偶函數(shù)；
②y=

5

(-x)3

=-

5

x3

，
∴②是奇函數(shù)；
③y=

-x+1

≠

x+1

≠-

x+1

，
∴③既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
④y=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

），
∴④是奇函數(shù)；
⑤y=（-x）^-2-2|-x|=x^-2-2|x|，
∴⑤是偶函數(shù)，
故答案為：奇函數(shù)有②④；偶函數(shù)有①⑤；…（4分）

問題2：證明：④∵當(dāng)x≠0時，
f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴y=x+

1

x

是奇函數(shù)，
⑤∵f（-x）=（-x）^-2-2|-x|=x^-2-2|x|=f（x），
∴y=x^-2-2|x|是偶函數(shù)．

點評：本題考查了奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，根據(jù)題目提供信息，看懂題意準(zhǔn)確找出題目的解題思路是解題的關(guān)鍵．