Question

如圖，已知直線MA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，且BD平分∠MBC，過(guò)D作DE⊥MA，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE+BE=12，⊙O的直徑是20，求AB和BD的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠MBC，
∴∠EBD=∠OBD，
∴∠ODB=∠EBD，
∵DE⊥MA，
∴∠DEB=90°，即∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接CD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDB=∠DEB，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠EDB=∠DCB，
∴△BDE∽△BCD，
∴=，即DB²=EB•BC，
∵DE+BE=12，⊙O的直徑是20，
∴BE=x，DE=12-x，DB=，
∴x²+（12-x）²=20x，即x²-22x+72=0，
解得：x=4或x=18（舍去），
∴DB=4，
過(guò)O作OF⊥AB，可得出AF=BF=AB，
∵OF=DE=8，OB=10，
∴根據(jù)勾股定理得：BF==6，
則AB=2BF=12．
分析：（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，等量代換得到∠ODB=∠EBD，由∠DEB為直角，得到直角三角形DBE中兩銳角互余，等量代換及垂直的定義得到OD垂直于DE，可得出DE是圓O的切線；
（2）連接CD，由BC為圓的直徑，得到∠CDB為直角，確定出一對(duì)直角相等，根據(jù)BD為角平分線得到一對(duì)角相等，得到三角形DBE與三角形CBD相似，由相似得比例，列出比例式，設(shè)EB=x，得到DE=12-x，利用勾股定理表示出DB，再由BC=20，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出DB的長(zhǎng)，過(guò)O作OF垂直于AB，利用垂徑定理得到F為AB的中點(diǎn)，在直角三角形OBF中，利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)，即可確定出AB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用了方程的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，熟練掌握切線的判定方法是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．