Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn)，連接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據(jù)∠A=90°，推出矩形ADOE，進(jìn)一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，由（1）得：四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據(jù)，OE=3，求出，根據(jù)S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接OE，
∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點(diǎn)，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，，
∴．
答：tanC=．

（2）如圖，設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，
由（1）得：四邊形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，=，OE=3，
∴，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=，
∴S_陰影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=，
答：圖中兩部分陰影面積的和為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，扇形的面積，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．