如圖,在△ABC中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線MN∥B
C.設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)求證EO=FO;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形,并證明你的結論;
(3)若AC邊上存在點O,使四邊形AECF是正方形,且=,求∠B的大小.
證明:(1)∵MN∥BC,∴∠1=∠5. 又∵∠1=∠2,∴∠2=∠5. ∴OE=OC. 同理OF=OC,∴OE=OF. (2)當點O運動到AC邊的中點時,四邊形AECF是矩形.以下給出證明. 由(1)知OE=OF,又OA=OC, ∴四邊形AECF是平行四邊形. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=, 而∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=. ∴平行四邊形AECF是矩形. (3)如圖2,若四邊形AECF是正方形,則AC⊥EF.而EF∥BC,∴AC⊥BC.△ABC是直角三角形,其中∠ACB是直角. 在等腰直角△AEC中,AC=AE.又已知=,BC=AE.在Rt△ABC中,tan∠B===,∴∠B=. |
由已知條件易證出EO=CO,F(xiàn)O=CO,從而得出EO=FO.第(2)小問當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形.因為矩形是特殊的平行四邊形,所以要先滿足是平行四邊形,再判斷是矩形.第(3)小問條件又強化了,AECF是正方形. 該題的三個小問題緊密相連,其中前一個小問題的結論,又變成了后一個小問題的條件.要順利、完整地解答此題,必須對四邊形、平行四邊形、矩形、正方形這些集合間的“包含”關系有一個清晰的認識(如圖1).對第(1)小問,要證EO=FO,只要注意到CO的橋梁作用即可.對第(2)小問,因為已有EO=FO,故要使四邊形AECF為矩形,首先必須令AO=CO,即令點O運動到AC的中點處,此時可判定四邊形AECF為平行四邊形.為了進一步判定它為矩形,只要再證它有一個內角為即可.第(3)小問則首先肯定四邊形AECF是一個正方形,這時為解題方便,應該再作一個符合條件的新圖形(如圖2).在Rt△ABC中,由于AC、BC都可以用AE來表示,因此可以得到∠B的正切值,進而求得∠B的大。 |
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
A、
| ||||
B、(
| ||||
C、
| ||||
D、
|
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com