Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-5交x軸于A，交y軸于B，點(diǎn)P（0，-1），D是線段AB上一動點(diǎn)，DC⊥y軸于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D．
（1）若C為BP的中點(diǎn)，求k的值．

（2）DH⊥DC交OA于H，若D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，四邊形DHOC的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）將直線AB沿y軸正方向平移a個(gè)單位（a＞5），交x軸、y軸于E、F點(diǎn)，G為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G（0，-a+5），點(diǎn)M、N以相同的速度分別從E、G兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿x軸、y軸向點(diǎn)O運(yùn)動（不到達(dá)O點(diǎn)），同時(shí)靜止，連接并延長FM交EN于K，連接OK、MN，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中以下兩個(gè)結(jié)論：①∠EFM=∠MNK；②∠FMO=∠OKN，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請判斷并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-x-5可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由于C是PB的中點(diǎn)，所以可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，把C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入直線解析式即可求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出k的值．
（2）根據(jù)點(diǎn)D在直線y=-x-5的圖象上，可用x表示出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的面積公式即可求解；
（3）根據(jù)將直線AB沿y軸正方向平移a個(gè)單位，點(diǎn)M、N以相同的速度分別從E、G兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿x軸、y軸向點(diǎn)O運(yùn)動，得到四邊形GNME是個(gè)等腰梯形，得到∠MNK=∠NMG=∠MGE，再根據(jù)△GME≌△FME，都得到∠MGE=∠EFM，進(jìn)而求得∠MNK=∠EFM．

解答：解：（1）∵B點(diǎn)是直線y=-x-5與y軸的交點(diǎn)，
∴x=0，y=-5，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），
∵點(diǎn)P（0，-1），C為BP的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3，即-3=-x-5，x=-2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），
∵D在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=（-2）×（-3）=6．

（2）∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
∴其縱坐標(biāo)為-x-5，
∵D點(diǎn)在第三象限，
∴x＜0，-x-5＜0，
∴y=|x|•|-x-5|=-x•（x+5）=-x²-5x．

（3）連接MG、EG，
∵GNME是等腰梯形，
∴∠MNK=∠NMG=∠EFM，
又∵△GME≌△FME，
∴∠MGE=∠EFM，
∴∠MNK=∠EFM．
故①正確．

點(diǎn)評：本題比較復(fù)雜，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定等知識，難度較大．