Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點為A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3m）（其中m＞0），頂點為D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；
（2）如圖①，當(dāng)m=2時，點P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個動點，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；
（3）如圖②，當(dāng)m取何值時，以A、D、C為頂點的三角形與△BOC相似？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用交點式求出拋物線的解析式；
（2）如答圖2，求出S的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，所以△ACD必為直角三角形．本問分多種情形，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交點為A（-3，0）、B（1，0），
∴拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-1）．
將點C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故拋物線的解析式為：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）當(dāng)m=2時，C（0，-6），拋物線解析式為y=2x²+4x-6，則P（x，2x²+4x-6）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有

-3k+b=0 b=-6

，解得

k=-2 b=-6

，
∴y=-2x-6．
如答圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，則F（x，-2x-6）．

∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x²+4x-6）=-2x²-6x．
S=S_△PFA+S_△PFC=

1

2

PF•AE+

1

2

PF•OE=

1

2

PF•OA=

1

2

（-2x²-6x）×3
∴S=-3x²-9x=-3（x+

3

2

）²+

27

4

故S與x之間的關(guān)系式為S=-3x²-9x，當(dāng)x=-

3

2

時，S有最大值為

27

4

．

（3）∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴頂點D坐標(biāo)為（-1，-4m）．
如答圖②，過點D作DE⊥x軸于點E，則DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2；
過點D作DF⊥y軸于點F，則DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m．

由勾股定理得：
AC²=OC²+OA²=9m²+9；
CD²=CF²+DF²=m²+1；
AD²=DE²+AE²=16m²+4．
∵△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，
∴△ACD必為直角三角形．
i）若點A為直角頂點，則AC²+AD²=CD²，
即：（9m²+9）+（16m²+4）=m²+1，
整理得：m²=-

1

2

，
∴此種情形不存在；
ii）若點D為直角頂點，則AD²+CD²=AC²，
即：（16m²+4）+（m²+1）=9m²+9，
整理得：m²=

1

2

，
∵m＞0，∴m=

2

2

．
此時，可求得△ACD的三邊長為：AD=2

3

，CD=

6

2

，AC=

3 6

2

；
△BOC的三邊長為：OB=1，OC=

3 2

2

，BC=

22

2

．
兩個三角形對應(yīng)邊不成比例，不可能相似，
∴此種情形不存在；
iii）若點C為直角頂點，則AC²+CD²=AD²，
即：（9m²+9）+（m²+1）=16m²+4，
整理得：m²=1，
∵m＞0，∴m=1．
此時，可求得△ACD的三邊長為：AD=2

5

，CD=

2

，AC=3

2

；
△BOC的三邊長為：OB=1，OC=3，BC=

10

．
∵

AD

BC

=

AC

OC

=

CD

OB

=

2

，
∴滿足兩個三角形相似的條件．∴m=1．
綜上所述，當(dāng)m=1時，以A、D、C為頂點的三角形與△BOC相似．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似、勾股定理、圖形面積計算等知識點，難度不大．第（2）問重點考查了圖形面積的計算方法；第（3）問重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．