Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴, BC=．   

∵BD平分∠ABC，

∴.                                                                         

∴DA=DB．

 ∵DE⊥AB于點E．

∴AE=BE=．

∴BC=BE.  

∴△BCE是等邊三角形.  

（2）結(jié)論：AD = DG＋DM．

 （3）結(jié)論：AD = DG－DN．

理由如下：

延長BD至H，使得DH＝DN .  

     由（1）得DA=DB，．

∵DE⊥AB于點E．

∴．

∴．

∴△NDH是等邊三角形．

∴NH=ND，．

∴．

∵,

∴.

即.

在△DNG和△HNB中，