Question

19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（0，a），B（b，0），且a、b滿足二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，且AB=5．
（1）求點(diǎn)A、B坐標(biāo)．
（2）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB勻速運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t，線段 BP的長(zhǎng)為d，請(qǐng)用含t的式子表示d．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OP于點(diǎn)M，當(dāng)△BOP與△BMP的面積比為3：2時(shí)，求t值和點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用加減消元法解二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，即可；
（2）分兩種情況表示：點(diǎn)P在線段AB上和點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上即可；
（2）分兩種情況表示：點(diǎn)P在線段AB上和點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，利用平行線分線段成比例定理和比例的基本性質(zhì)即可．

解答 解：（1）∵a、b滿足二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∵A（0，a），B（b，0），
∴A（0，4），B（3，0），
（2）∵一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB勻速運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t，
∴AP=2t，
①如圖1，

點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，（0≤t≤$\frac{5}{2}$），
∵AB=5，
∴d=BP=AB-AP=5-2t，
②如圖2，

點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線時(shí)，（t＞$\frac{5}{2}$），
∵AB=5，
∴d=BP=AP-AB=2t-5，
∴d=$\left\{\begin{array}{l}{5-2t（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{2t-5（t＞\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$，
（3）①如圖3，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OM，
∵過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OP于點(diǎn)M，
∴BM∥OA，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{OP}{PM}$=$\frac{OA}{BM}$，
∵△BOP與△BMP的面積比為3：2，
∴$\frac{\frac{1}{2}OP×BC}{\frac{1}{2}PM×BC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{OP}{PM}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{3}{5}$，
∵AB=5，
∴AP=3，
由（1）有AP=2t，
∴2t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{AP}{BP}=\frac{OA}{BM}$=$\frac{3}{2}$，且OA=4，
∴BM=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，$\frac{8}{3}$）．

方法2，如圖5，

∵S_△BOP=$\frac{1}{2}$OB×PH，S△_BMP=S_△OBM-S_△BPO=$\frac{1}{2}$OB×BM-$\frac{1}{2}$OB×PH=$\frac{1}{2}$OB（BM-PH），
∴$\frac{\frac{1}{2}OB×（BM-PH）}{\frac{1}{2}OB×PH}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BM-PH}{PH}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BM}{PH}=\frac{5}{3}$，
設(shè)PH=3a，BM=5a，
∴M（3，5a），
∴直線OM的解析式為y=$\frac{5}{3}$ax
∴當(dāng)y=3a時(shí)，x=$\frac{9}{5}$，
∴H（$\frac{9}{5}$，3a），
∵A（0，4），B（3，0），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∵點(diǎn)H在直線AB上，
∴-$\frac{4}{3}$×$\frac{9}{5}$+4=3a，
∴a=$\frac{8}{15}$，
∴5a=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，$\frac{8}{3}$）．
②如圖4，

點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，交BM延長(zhǎng)線于E，
∴PE∥OB，
∵△BOP與△BMP的面積比為3：2，
∴$\frac{{S}_{△BOP}}{{S}_{△BMP}}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△BOM}}{{S}_{△BMP}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BM×OB}{\frac{1}{2}BM×PE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{PE}=\frac{1}{2}$
∵B（3，0），
∴OB=3，
∴PE=6，
方法一∵△AOB∽△BEP，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{OB}{PE}$，
∴BP=$\frac{AB×PE}{OB}$=$\frac{5×6}{3}$=10，
由（1）有，BP=2t-5，
∴2t-5=10，
∴t=$\frac{15}{2}$，
在Rt△BEP中，PB=10，PE=6，
∴BE=8，
∵PE∥OB，
∴$\frac{BM}{ME}=\frac{OB}{PE}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BM}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴BM=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，-$\frac{8}{3}$）．
方法二：
∵OB=3，
∴PD=9，
∵A（0，4），B（3，0），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴P（9，-8），
∴直線OP解析式為y=-$\frac{8}{9}$x，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{8}{3}$，
∴M（3，-$\frac{8}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了二元一次方程組的解法，平行線分線段成比例定理，比例的基本性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用同底的兩個(gè)三角形面積比等于高的比．