Question

14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是直線y=1上一動點(diǎn)．
（1）直接寫出A、B的坐標(biāo)：A（3，0），B（0，4）．
（2）是否存在點(diǎn)P使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線解析式x=0、y=0，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）存在，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)A、P、B三點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間距離公式，寫出三條線長度，分類討論，分三種情況，AB=AP，AB=BP，AP=BP，利用等腰三角形性質(zhì)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
令x=0，y=4，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
故答案為：（3，0），（0，4）．

（2）存在．
∵P是直線y=1上一動點(diǎn)，A（3，0），B（0，4），
∴設(shè)點(diǎn)P（x，1），
則：AB=5，AP=$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$，BP=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
當(dāng)AB=AP時(shí)，
5=$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$，
整理得：x²-6x-15=0
解得：x=3±2$\sqrt{6}$
∴P₁（3+2$\sqrt{6}$，1），P₂（3-2$\sqrt{6}$，1）．
當(dāng)AB=BP時(shí)，
5=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
整理得：x²=16
解得：x=±4，
∴P₃（4，1），P₄（-4，1）．
當(dāng)AP=BP時(shí)，
$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得：x=$\frac{1}{6}$，
∴P₅（$\frac{1}{6}$，1）．
綜上所述：∴P₁（3+2$\sqrt{6}$，1），P₂（3-2$\sqrt{6}$，1），P₃（4，1），P₄（-4，1），P₅（$\frac{1}{6}$，1）．

點(diǎn)評 題目考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，（1）相對簡單，（2）主要考查等腰三角形性質(zhì)和兩點(diǎn)之間距離公式，學(xué)生只要掌握這些知識點(diǎn)，解決此問題就會變得輕而易舉，需要注意的是，在解題過程中不要出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．