Question

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x²－7x＋12=0的兩根（OA＜OB），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒.

（1）求A、B兩點的坐標(biāo).

（2）求當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

                     　　　　　　              

                       

 

Answer 1

解：（1）x²－7 x +12=0

        解得x₁=3，x₂=4            ----------------------------------------------------（1分）

         ∵OA＜OB       

 ∴OA=3 , OB=4

         ∴A(0,3) , B(4,0)         --------------------------------------------------（2分）

        

圖1                                      圖2

(2)       由題意得，AP=t,  AQ=5-2t

可分兩種情況討論：

①       當(dāng)∠APQ=∠AOB 時，△APQ∽△AOB

如圖1     =

          解得 t=         --------------------------------------------------（1分）  

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

②        當(dāng) ∠AQP=∠AOB 時， △APQ∽△ABO

     如圖2    =

         解得  t=         --------------------------------------------------（1分）

     所以可得  Q（，）--------------------------------------------------（1分）

（3） 存在   M₁（，）， M₂（，），M₃（－，）---------------（3分）