Question

如圖，已知拋物線y=x²-4x+3，過(guò)點(diǎn)D（0，-

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）的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，求直線MN的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：設(shè)直線MN的解析式為y=kx-

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（k≠0）．根據(jù)一元二次方程x²-4x+3=0的根求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k的值即可．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D（0-

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）的直線與拋物線交于M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．
設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-

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，
則有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

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，
移項(xiàng)后合并同類項(xiàng)得x²-（k+4）x+

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=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

5

2

+kx_N-

5

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=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當(dāng)k=-5時(shí)，方程x²-（k+4）x+

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=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無(wú)交點(diǎn)，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．此題根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．