Question

7．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若線段CD=2，且CD∥AB，則AD的長度等于$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①延長BC、AD交于點M，由平行線證出△DCM∽△ABN，得出$\frac{DN}{AN}=\frac{CN}{BN}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得出CN=BC=3，AD=DN=$\frac{1}{2}$AN，求出BN=6，由勾股定理求出AN，即可得出AD的長度；
②設(shè)AD交BC于O，由平行線證明△COD∽△BOA，得出$\frac{OC}{OB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，求出OC=1，OB=2，由勾股定理求出OD和OA，即可得出AD的長度．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1所示：延長BC、AD交于點M，
∵CD∥AB，
∴△DCM∽△ABN，
∴$\frac{DN}{AN}=\frac{CN}{BN}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CN=BC=3，AD═$\frac{1}{2}$AN，
∴BN=6，
∵∠ABC=90°，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AD=$\sqrt{13}$；
②如圖2所示：
設(shè)AD交BC于O，
∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=3，
∴OC=1，OB=2，
∴OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=OA+OD=3$\sqrt{5}$；
綜上所述：AD的長度等于$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{13}$或3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．