Question

如圖：M為Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在邊AB、BC上，且BP=5，CQ=3，PM⊥QM，則PQ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：延長(zhǎng)QM至D，是DM=QM，連接BD、PD，然后利用“邊角邊”證明△CMQ和△BMD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CQ，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBM=∠C，然后求出∠PBD=90°，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得PD=PQ，然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解

解答：解：延長(zhǎng)QM至D，使DM=QM，連接BD、PD，
∵M(jìn)是邊BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△CMQ和△BMD中，

BM=CM ∠CMQ=∠BMD DM=QM

，
∴△CMQ≌△BMD（SAS），
∴BD=CQ，∠DBM=∠C，
在△ABC中，∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBM+∠ABC=90°，
即∠PBD=90°，
又∵PM⊥QM，DM=QM，
∴PD=PQ，
∵BP=5，CQ=3，
∴在Rt△PBD中，根據(jù)勾股定理，PD=

PB2+BD2

=

52+32

=

34

，
即PQ=

34

．
故答案為：

34

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．