如圖,已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足為D,過點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)精英家教網(wǎng)E,交⊙O于點(diǎn)F,且AE=BE.
(1)求證:
AB
=
AF
;
(2)若BE•EF=32,AD=6,求BD的長(zhǎng).
分析:(1)要證
AB
=
AF
就要利用相等的圓周角所對(duì)的弧相等來證明,所以連接BH,根據(jù)垂徑定理可知弧AB=弧BH.因?yàn)锳E=BE,利用等腰三角形的性質(zhì)及等量代換就可證明:
AB
=
AF
;
(2)已知BE•EF=32,AD=6,所以可根據(jù)相交弦定理求出AE,EH的長(zhǎng),然后再由已知AE=BE求出BE的長(zhǎng),利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng).
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接BH,
根據(jù)垂徑定理可知弧AB=弧BH,
∴∠BAH=∠BHA.
∵AE=BE,
∴∠BAH=∠ABF.
∴∠BHA=∠ABF.
AB
=
AF


(2)解:∵BE•EF=32,
∴AE•EH=32.
∵AD=6,
∴AH=12.
∴AE•(12-AE)=32.
解得AE=4或8,
從圖中可知AE=4,DE=2
∵AE=BE,
∴BE=4.
∴BD=
42-22
=2
3
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了圓的垂徑定理及等弧所對(duì)和圓周角相等的性質(zhì)及相交弦勾股定理的應(yīng)用.
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22、如圖,已知Rt△ABC,AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,BD的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)E、F,CD=CG.
(1)請(qǐng)以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)(不增加其他的點(diǎn))分別構(gòu)造兩個(gè)菱形和兩個(gè)等腰梯形.那么,構(gòu)成菱形的四個(gè)頂點(diǎn)是
B,E,D,F(xiàn)
E,D,C,G
;構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)是
B,E,D,C
E,D,G,F(xiàn)
;
(2)請(qǐng)你各選擇其中一個(gè)圖形加以證明.

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(1)求PA的長(zhǎng);
(2)以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,試判斷BE與⊙A是否相切,并說明理由.

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