7．實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=8，代數(shù)式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值是24．

分析 由展開代數(shù)式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2，然后將其轉(zhuǎn)化為兩數(shù)差的形式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=27-（a+b+c）2，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)a2+b2≥2ab來解答．

解答 解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，
∴-2ab-2ac-2bc=a2+b2+c2-（a+b+c）2①
∵（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc ②
②代入①，得（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2
=3a2+3b2+3c2-（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2
=3×8-（a+b+c）2=24-（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小為0，
故原式最大值為24．
故答案為24．

點(diǎn)評 本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)a2+b2≥2ab．在解答此題時(shí)，還利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（a+b+c）2≥0．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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17．已知x2+y2=12，x+y=4，則xy=2．

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18．小明在一本數(shù)學(xué)資料上，看到這樣一道題，計(jì)算|$\sqrt{3}$-2|+|1-$\sqrt{3}$|，小明的解題過程是這樣的：|$\sqrt{3}$-2|+|1-$\sqrt{3}$|=$\sqrt{3}$-2+1-$\sqrt{3}$=-1，小明在檢查時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果有些蹊蹺，絕對值的和怎么會(huì)是負(fù)數(shù)呢？他百思不得其解，請你幫小明檢查一下，他出錯(cuò)在什么地方？這個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是多少？通過這道題你從中得到了什么啟發(fā)？下面的問題你能解決嗎？試一試計(jì)算|1-$\sqrt{2}$|+|$\sqrt{2}$$-\sqrt{3}$|+|$\sqrt{3}$-2|+|2-$\sqrt{5}$|+…+|$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$|-$\sqrt{2010}$．

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15．a(chǎn)為方程x2-x-3=0的一個(gè)根，求$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a-1}$=-$\frac{1}{3}$．

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2．已知關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{x≥m}\end{array}\right.$的解集是x＞3，求m的取值范圍．

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12．?dāng)?shù)學(xué)上可證明若直線y=k1x+b與直線y=k2x+b互相垂直，則有k1•k2=-1，那么與直線3x+2y=6垂直的直線可能為（　　）
A．2x+3y=6B．2x-3y=3C．3x-2y=5D．3x+2y=7

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19．設(shè)a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且$\frac{a}$$+\frac{c}+\frac{c}{a}$=3，求證：a=b=c．

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13．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)，含45°角的直角三角形的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一條直角邊與∠MBC的平分線BF交于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)時(shí)，連接EN，猜想：DE與EF的數(shù)量關(guān)系以及NE與BF的數(shù)量，證明你猜想的兩個(gè)關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請你在AD上找一點(diǎn)N，使得NE=BF，并猜想此時(shí)DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系．

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14．如圖，BE⊥AD，CF⊥AD且BE=CF．求證：D是BC的中點(diǎn)．

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