Question

17．如圖，對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（4，5）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q．
①當PQ=6時，求點P的坐標；
②是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意確定拋物線與x軸的另一個交點，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）①先求得直線AB的解析式，設P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），則PQ=|m+1-m²+2m+3|=6，然后分m²-3m-4=-6或m²-3m-4=6兩種情況求得m的值，從而求得P點的坐標；
②由勾股定理，得PA²=（m+1）²+（m+1）²；PQ²=[m+1-（m²-2m-3）]²，AQ²=（m+1）²+（m²-2m-3）²．然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三種情況列出關于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P點的坐標．

解答 解：（1）對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A（-1，0），得C（3，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
設拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）①直線AB的解析式為y=x+1，設P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），
PQ=|m+1-m²+2m+3|=6，
當m²-3m-4=-6，
解得m=1，m=2，
∴P（1，2）或（2，3）；
當m²-3m-4=6，解得m=-2，m=5，
∴P（-2，-1）或（5，6）；
綜上所述：當PQ=6時，點P的坐標（1，2），（2，3），（-2，-1），（5，6）；
（3）∵A（-1，0），P（m，m+1），Q（m，m²-2m-3），由勾股定理，得
PA²=（m+1）²+（m+1）²；PQ²=[m+1-（m²-2m-3）]²，AQ²=（m+1）²+（m²-2m-3）²．
①當PA=PQ時，（m+1）²+（m+1）²=[m+1-（m²-2m-3）]²，化簡，得（m+1）²[（m-4）²-2]=0．
于是，得（m-4）²-2=0，m+1=0．
解得m₁=4+$\sqrt{2}$，m₂=4-$\sqrt{2}$，m₃=-1，
∵當m=-1時，P點與A點重合，
∴P₁（4+$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$），P₂（4-$\sqrt{2}$，5-$\sqrt{2}$）；
②當PA=AQ時，（m+1）²+（m+1）²=（m+1）²+（m²-2m-3）²，化簡，得（m+1）²（m-3-1）²=0，
于是，得（m-4）²=0，解得m₄=4，m₅=-1，
∴P₃（4，5）；
③當AQ=AP時，（m+1）²+（m²-2m-3）²=[m+1-（m²-2m-3）]²，化簡，得（m+1）²[（m-4）²-2]=0．
于是，得（m²-2m-3）²=0．m+1=0，
解得m₆=3，m₇=-1，
∴P（3，4）；
綜上，存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形為等腰三角形，點P的坐標為P（4+$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$）或（4-$\sqrt{2}$，5-$\sqrt{2}$）或（4，5）或（3.4）．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，線段的長度以及勾股定理的應用等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵分類討論思想與方程思想的應用