Question

1．如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=$\frac{1}{2}$CD．
（1）求證：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）要證△ABF∽△CEB，需找出兩組對應(yīng)角相等；已知了平行四邊形的對角相等，再利用AB∥CD，可得一對內(nèi)錯(cuò)角相等，則可證．
（2）由于△DEF∽△EBC，可根據(jù)兩三角形的相似比，求出△EBC的面積，也就求出了四邊形BCDF的面積．同理可根據(jù)△DEF∽△AFB，求出△AFB的面積．由此可求出?ABCD的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB平行且等于CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△CEB}}$=（$\frac{DE}{CE}$）²=$\frac{1}{9}$，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DE}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△DEF=2，
∴S_△CEB=18，S_△ABF=8，
∴S_{四邊形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=16，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形BCDF}+S_△ABF=16+8=24．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟悉相似三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．