Question

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB的長(zhǎng)為x．

1.當(dāng)x的值為_(kāi)___________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形

2.當(dāng)x的值為_(kāi)___________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

3.點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.3或8

2.1或11

3.由（2）知，當(dāng)BP=11時(shí)，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形

【解析】解：（1）如圖，分別過(guò)A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，

∴AM=DN，AD=MN=5，

而CD=4 ，∠C=45°，

∴DN=CN=4=AM，

∴BM=CB-CN-MN=3，

若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，

則∠APC=90°或∠DEB=90°，

當(dāng)∠APC=90°時(shí)，

∴P與M重合，

∴BP=BM=3；

當(dāng)∠DEB=90°時(shí)，

∴P與N重合，

∴BP=BN=8；

故當(dāng)x的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；

（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：

①當(dāng)P在E的左邊，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=6，

∴BP=BE-PE=6-5=1；

②當(dāng)P在E的右邊，

BP=BE+PE=6+5=11；

故當(dāng)x的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，當(dāng)BP=11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∴EP=AD=5，

過(guò)D作DN⊥BC于N，

∵CD=4 ，∠C=45°，

則DN=CN=4，

∴NP=3．

∴DP=

∴EP=DP，

故此時(shí)▱PDAE是菱形．

即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形