Question

如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF．
（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖2，求證：CE+CF=CD；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到如圖3的位置時(shí)，猜想CE、CF、CD之間的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）只將條件“點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是BC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，如圖4，猜想CE、CF、CD之間的等量關(guān)系為

 

（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由三角形ABC與三角形EBF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到一對角相等，兩對邊相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABE與三角形CBF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF，由AC=AE+EC，等量代換即可得證；
（2）CE=CF+CD，理由為：過D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，連接CF，如圖所示，由DG與AB平行，利用兩直線平行同位角相等，確定出三角形GDC為等邊三角形，再由三角形EDF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，再利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EGD與三角形FCD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EG=FC，由EC=EG+GC，等量代換即可得證；
（3）CF=CE+CD，理由為：過D作DG∥AC，交FC于點(diǎn)G，同（2）即可得證．

解答：（1）證明：如圖2：
∵△ABC與△BEF都為等邊三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

AB=BC ∠ABE=∠CBF EB=FB

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，
則CD=AC=AE+EC=FC+EC；
（2）CE=CF+CD，理由為：
證明：過D作DG∥AB，交AC于點(diǎn)G，連接CF，

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG為等邊三角形，
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，

ED=FD ∠EDG=∠FDC DG=DC

，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
則CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；
（3）CF=CE+CD，理由為：
證明：過D作DG∥AC，交FC于點(diǎn)G，

∵GD∥AC，
∴∠GCD=∠DGC=60°，即△GCD為等邊三角形，
∵△EDF為等邊三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDF-∠DEG=∠GDC-∠EDG，即∠FDG=∠EDC，
在△ECD和△FGD中，

ED=FD ∠EDC=∠FDG CD=GD

，
∴△ECD≌△FGD（SAS），
∴EC=FG，
則FC=FG+GC=EC+CD．
故答案為：（3）CF=CE+CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．