Question

（2013•寧德）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-3x與經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，6）的直線相交于x軸上點(diǎn)A（3，0），P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，且與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)P作x軸垂線，交拋物線于Q點(diǎn)，連接OP，OQ，QA．
（1）寫出直線AB表達(dá)式；
（2）求t為何值時(shí)，△POQ為等腰直角三角形；
（3）設(shè)四邊形APOQ面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的整數(shù)值的個(gè)數(shù)．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸是直線x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B代入計(jì)算求出k與b的值，即可確定出直線AB解析式；
（2）若三角形POQ為等腰直角三角形，根據(jù)題意得到|PQ|=2t，將x=t代入直線AB解析式求出P縱坐標(biāo)，將x=t代入拋物線解析式求出Q縱坐標(biāo)，兩縱坐標(biāo)相減的絕對(duì)值即為|PQ|，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；
（3）四邊形APOQ的對(duì)角線互相垂直，由OA與PQ乘積的一半表示出S與t的關(guān)系式，求出S的整數(shù)值個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A（3，0），B（0，6）代入得：

3k+b=0 b=6

，
解得：

k=-2 b=6

，
則直線AB解析式為y=-2x+6；

（2）將x=t代入直線AB解析式得：y=-2t+6；
將x=t代入拋物線y=x²-3x解析式得：y=t²-3t，
∴|PQ|=-2t+6-t²+3t=-t²+t+6，
若△POQ為等腰直角三角形，則有2t=-t²+t+6，即t²+t-6=0，
解得：t=2或t=-3（舍去），
則t=2時(shí)，△POQ為等腰直角三角形；

（3）∵OA⊥PQ，
∴S=

1

2

|OA|•|PQ|=

1

2

×3×（-t²+t+6）=-

3

2

t²+

3

2

t+9，
∵0＜S＜9

3

8

，∴S的整數(shù)值可能為1，2，3，4，5，6，7，8，9
當(dāng)S=1，2，3，4，5，6，7，8，9時(shí)，求出的t值在范圍0＜t＜3中，
∴S的整數(shù)值有9個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積求法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問(wèn)的關(guān)鍵．