Question

（2012•涼山州）如圖，已知直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把

OA

三等分，連接PC并延長(zhǎng)PC交y軸于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求證：△POD≌△ABO；
（3）若直線(xiàn)l：y=kx+b經(jīng)過(guò)圓心P和D，求直線(xiàn)l的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先連接PB，由直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把

OA

三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等邊三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；
（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得直線(xiàn)l的解析式．

解答：（1）證明：連接PB，
∵直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把

OA

三等分，
∴∠APB=∠DPO=

1

3

×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴AB=PA，∠BAO=60°，
∴AB=OP，∠BAO=∠OPD，
在△POD和△ABO中，

∠OPD=∠BAO OP=BA ∠POD=∠ABO

∴△POD≌△ABO（ASA）；

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，
∴∠PDO=∠AOB，
∵∠AOB=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，
∴∠PDO=30°，
∴OP=OD•tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-

3

，0）
∴

b=3 - 3 k+b=0

，
解得：

k= 3 b=3

，
∴直線(xiàn)l的解析式為：y=

3

x+3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．