Question

18．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BE．
（1）求證：△ABE與△BEF相似．
（2）若DE=3，AB=9．求sin∠CBF．

Answer 1

分析 （1）由FE⊥BE得到∠BEF=90°，則利用等角的余角相等得到∠ABE=∠DEF，則可證明△ABE∽△DEF，得到$\frac{BE}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$，由于AE=DE，則$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AE}{EF}$，加上∠A=∠BEF，于是可判斷△ABE∽△EBF；
（2）由△ABE∽△DEF得到$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{9}{3}$，可計(jì)算出DF=1，所以CF=8，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理可得到BF=10，然后根據(jù)正弦的定義求解．

解答 （1）證明：∵FE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
而∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
而∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BE}{EF}$，
即$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AE}{EF}$，
∵∠A=∠BEF，
∴△ABE∽△EBF；
（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{9}{3}$，
∴DF=1，
∵CD=AB=9，
∴CF=8，
在Rt△BCF中，
∵BC=AD=6，CF=8，
∴BF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴sin∠CBF=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)和得到對(duì)應(yīng)角相等．解決（2）的關(guān)鍵是證明△ABE∽△DEF，