Question

18．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是CD的上一點，F(xiàn)E⊥BE．
（1）求證：△ABE與△BEF相似．
（2）若DE=3，AB=9．求sin∠CBF．

Answer 1

分析 （1）由FE⊥BE得到∠BEF=90°，則利用等角的余角相等得到∠ABE=∠DEF，則可證明△ABE∽△DEF，得到$\frac{BE}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$，由于AE=DE，則$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AE}{EF}$，加上∠A=∠BEF，于是可判斷△ABE∽△EBF；
（2）由△ABE∽△DEF得到$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{9}{3}$，可計算出DF=1，所以CF=8，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理可得到BF=10，然后根據(jù)正弦的定義求解．

解答 （1）證明：∵FE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
而∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
而∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BE}{EF}$，
即$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AE}{EF}$，
∵∠A=∠BEF，
∴△ABE∽△EBF；
（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{9}{3}$，
∴DF=1，
∵CD=AB=9，
∴CF=8，
在Rt△BCF中，
∵BC=AD=6，CF=8，
∴BF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴sin∠CBF=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算相應線段的長和得到對應角相等．解決（2）的關鍵是證明△ABE∽△DEF，