Question

如圖，
（1）已知：P為半徑為5的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)最短的弦長為8，則OP=

 

（2）在（1）的條件下，若⊙O內(nèi)有一異于P點(diǎn)的Q點(diǎn)，過Q點(diǎn)的最短弦長為6，且這兩條弦平行，求PQ的長．
（3）在（1）的條件下，過P點(diǎn)任作弦MN、AB，試比較PM•PN與PA•PB的大小關(guān)系，且寫出比較過程．你能用一句話歸納你的發(fā)現(xiàn)嗎？
（4）在（1）的條件下，過P點(diǎn)的弦CD=

25

3

，求PC、PD的長．

Answer 1

分析：（1過點(diǎn)P的最短的弦即為過點(diǎn)P垂直于OP的弦，根據(jù)垂徑定理、勾股定理進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)（1）的方法求得OQ的長，進(jìn)而求得PQ的長；
（3）根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明；
（4）過點(diǎn)P作直徑EF，根據(jù)（3）中得到的結(jié)論，知PC•PD=PE•PF，再結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）連接OP，過點(diǎn)P作CD⊥OP于點(diǎn)P，連接OD．
根據(jù)題意，得CD=8，OD=5．
根據(jù)垂徑定理，得PD=4，
根據(jù)勾股定理，得OP=3；



（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)，知O、P、Q三點(diǎn)共線．
根據(jù)（1）的求解方法，得OQ=4，則PQ=1或7；

（3）連接AM、BN．
∵∠A=∠N，∠M=∠B，
∴△APM∽△NPB，
∴

PA

PM

=

PN

PB

，
即PM•PN=PA•PB；

（4）作直徑AB，根據(jù)相交弦定理，得PC•PD=PA•PB=（5-3）（5+3）=16，
又CD=

25

3

，
設(shè)PC=x，則PD=

25

3

-x，則有x（

25

3

-x）=16，
解，得x=3或x=

16

3

．
即PC=3或

16

3

，PD=

16

3

或3．

點(diǎn)評(píng)：此題的綜合性較強(qiáng)，綜合考查了相交弦定理、垂徑定理、勾股定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)．