Question

（2010•威海）如圖①，將一張矩形紙片對折，然后沿虛線剪切，得到兩個（不等邊）三角形紙片△ABC，△A₁B₁C₁．

﹙1﹚將△ABC，△A₁B₁C₁如圖②擺放，使點A₁與B重合，點B₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交BB₁于點E．求證：∠B₁C₁C=∠B₁BC．
﹙2﹚若將△ABC，△A₁B₁C₁如圖③擺放，使點B₁與B重合，點A₁在AC邊的延長線上，連接CC₁交A₁B于點F，試判斷∠A₁C₁C與∠A₁BC是否相等，并說明理由．
﹙3﹚寫出問題﹙2﹚中與△A₁FC相似的三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，根據矩形的性質及全等三角形的性質，可證四邊形ABC₁C是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質及相互間的等量關系即可得出；
（2）由題意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，根據矩形的性質及全等三角形的性質，及相互間的等量關系即可得出；
（3）根據相似三角形的判定即可得出．
解答：（1）證明：由題意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，∠2=∠7，∠A=∠1．
∴∠3=∠A=∠1．（1分）
∴BC₁∥AC．
∴四邊形ABC₁C是平行四邊形．（2分）
∴AB∥CC₁．
∴∠4=∠7=∠2．（3分）
∵∠5=∠6，
∴∠B₁C₁C=∠B₁BC．（4分）

﹙2）解：∠A₁C₁C=∠A₁BC．（5分）
理由如下：由題意，知△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AB=A₁B₁，BC₁=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．
∴∠3=∠A，∠4=∠7．（6分）
∵∠1+∠FBC=∠8+∠FBC，
∴∠C₁BC=∠A₁BA．（7分）
∵∠4=（180°-∠C₁BC），∠A=（180°-∠A₁BA），
∴∠4=∠A．（8分）
∴∠4=∠2
∵∠5=∠6，
∴∠A₁C₁C=∠A₁BC．（9分）

﹙3）解：△C₁FB，（10分）
△A₁C₁B，△ACB．（11分）﹙寫對一個不得分﹚
點評：本題主要考查了矩形的性質和全等三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，難度較大．