Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，EF∥BC，若△ABC的面積為1，S_△AEF=2S_△EBC，則S_△CEF為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²，然后設(shè)

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²=x²，即可得EF：BC=x，由同高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可得S_△EFC：S_△EBC=EF：BC=x，繼而可求得S_△ABC=S_△EBC+S_△AEF+S_△EFC=（3+x）S_△EBC，即可得方程

2

3+x

=x²，解此方程即可求得x的值，繼而求得答案．

解答：解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²，
設(shè)

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²=x²，
∴EF：BC=x，
∴S_△EFC：S_△EBC=EF：BC=x，
∴S_△EFC=xS_△EBC，
∵S_△AEF=2S_△EBC，
∴S_△ABC=S_△EBC+S_△AEF+S_△EFC=（3+x）S_△EBC，
∴

2

3+x

=x²，
∴x³+3x²-2=0，
即x³+x²+2x²-2=0，
∴x²（x+1）+2（x+1）（x-1）=0
∴（x+1）（x²+2x-2）=0，
∴x+1=0或x²+2x-2=0，
解得：x=-1（舍去）或x=

3

+1（舍去）或x=

3

-1，
∴S_△AEF=x²•S_△ABC=4-2

3

，
∴S_△EFC=xS_△EBC=

x

2

S_△AEF=

3 -1

2

×（4-2

3

）=3

3

-5．
故答案為：3

3

-5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．