Question

（1）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF=120°，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，DF與BC的延長線交于F點(diǎn)，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______；BE+BF與的BC數(shù)量關(guān)系是______；（寫出結(jié)論即可，不必證明）

（2）將（1）中的∠EDF繞D點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖2），DE交AB于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF=120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE+BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；

（3）將（1）中的∠BDE繞D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DE與AB的延長線交于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF=120°”這一條件仍然不變，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______；BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是______．（寫出結(jié)論即可，不必證明）

Answer 1

解：（1）等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，
∴∠DEC=∠F，
∴DE=DF，
∴BE+BF=BC；

（2）DE=DF；BE+BF=BC．
過D作DM∥BC交AB于M點(diǎn)，
則∠AMD=∠ABC=60°，
∠ADM=∠ACB=60°，
∴△AMD是等邊三角形，
則MD=DC=AD=BC，
∠MDC=∠EDF=120°，
則∠MDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即：∠MDE=∠CDF，
在△MED和△CDF中，
∴△MED≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，ME=CF，
BE+BF=BM-ME+BC+CF=BC+BC=；

（3）取AB中點(diǎn)N，連接DN，如圖所示
∵ND=CD，∠END=∠DCF=120°，NE=CF，
∴△END≌△FCD，
∴DE=DF，
∵BE+AB=CF，
∴BF=BC+CF=BC+BE，
∴BF-BE=BC．
分析：（1）點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，即BE=0，因?yàn)镃F=CD=BC，所以可得出三者之間的關(guān)系．
（2）旋轉(zhuǎn)問題，三角形旋轉(zhuǎn)之后，得到的新三角形與原三角形全等，所以線段的關(guān)系與（1）中關(guān)系相同．
（3）逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與DF關(guān)系不變，但后者的關(guān)系發(fā)生變化．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．