精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
如圖,正方形ABCD的邊長為2,P是△BCD內一動點,過點P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,分別于對角線BD相交于點E,F.記PM=a,PN=b,當點P運動時,ab=2.
(1)求證:EF2=BE2+DF2
(2)求證:△ABF∽△EDA,并求∠EAF的度數;
(3)設△AEF的面積為S,試探究S是否存在最小值?若存在,請求出S的最小值;若不存在,請說明理由.
考點:四邊形綜合題
專題:
分析:(1)根據題意得出四邊形AMPN是矩形,故△BME、△DNF、△PEF均為等腰直角三角形,再根據勾股定理即可得出結論;
(2)同(1)得出四邊形AMPN是矩形,故PM∥AN,NP∥AM,根據平行線分線段成比例定理可得出DE•BF=
2
AM•
2
AN=2ab,故可得出
DE
AB
=
AD
BF
,由相似三角形的判定定理得出△ABF∽△EDA,根據相似三角形的對應角相等即可得出結論;
(3)根據S=S△ABD-S△ABE-S△ADF=
1
2
AB2-
1
2
AB•ME-
1
2
AD•FN可得出S=(
a
-
b
2+2
2
-2,再由(
a
-
b
2≥0即可得出結論.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
∴AB=AD=2,∠ABF=∠ADE=45°,
∵PM⊥AB,PN⊥AD,
∴四邊形AMPN是矩形,
∴△BME、△DNF、△PEF均為等腰直角三角形,
∵PM=a,PN=b,
∴BM=EM=2-b,DN=FN=2-a,PE=PF=a+b-2,
∴DF2=2(2-a)2=2a2-8a+8,
BE2=2(2-b)2=2b2-8b+8,
EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8,
∵ab=2,
∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16,
∴EF2=BE2+DF2;

(2)證明:∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
∴AB=AD=2,∠ABF=∠ADE=45°,
∵PM⊥AB,PN⊥AD,
∴四邊形AMPN是矩形,
∴PM∥AN,NP∥AM,
DE
AM
=
BD
AB
=
2
BF
AN
=
BD
AD
=
2
,
∴DE=
2
AM,BF=
2
AN,
∴DE•BF=
2
AM•
2
AN=2ab,
∵ab=2,
∴DE•BF=4,
∴DE•BF=AB•AD,即
DE
AB
=
AD
BF
,
又∵∠ABF=∠EDA=45°,
∴△ABF∽△EDA,
∴∠BAF=∠AED,
∵∠BAF=∠EAF+∠BAE,∠AED=∠ABF+∠BAE,
∴∠EAF=∠ABF=45°;

(3)解:S=S△ABD-S△ABE-S△ADF
=
1
2
AB2-
1
2
AB•ME-
1
2
AD•FN
=
1
2
×22-
1
2
×2×(2-b)+
1
2
×2×(2-a)
=a+b-2
=(
a
2+(
b
2-2
ab
+2
ab
-2
=(
a
-
b
2+2
ab
-2
∵ab=2,
∴S=(
a
-
b
2+2
2
-2,
∵(
a
-
b
2≥0,
∴當
a
-
b
=0,即a=b=
2
時,S有最小值,且S最小=2
2
-2.
點評:本題考查的是四邊形綜合題,涉及到正方形的性質、三角形的面積公式及相似三角形的判定等知識,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

甲、乙兩車相距100km,兩車同時出發(fā),同向而行,2.5h后乙車可以追上甲車;相向而行,0.5h后兩車相遇.求甲、乙兩車的速度.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

某公司為甲、乙兩所學校捐贈圖書共4000本.已知捐給甲校的圖書本數比捐給乙校的圖書本數的2倍少800本.
求:
(1)該公司分別捐給甲、乙兩所學校的圖書本數?
(2)這4000本圖書的總樣碼價為52840元,按七五折付款,該公司實際付款多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,在△ABC中,點D是BC中點,點E是AC中點,且AD⊥BC,BE⊥AC,BE,AD相交于點G,過點B作BF∥AC交AD的延長線于點F,DF=6.
(1)求AE的長;
(2)求
S△AEG
S△FBG
的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

先化簡,再求代數式(
x
x+1
+
x+1
x2-1
)÷
x2+1
x2+x
的值,其中x=2014.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

釣魚島自古以來就是我國的神圣領土,為維護國家主權和海洋權利,我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島海域實現了常態(tài)化巡航管理.如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持40海里的距離,某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向,B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C.
(1)求cos∠ACB的值.(保留2個有效數字,
2
≈1.414,
3
≈1.732)
(2)求此時船C與船B的距離是多少.(結果保留根號)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

先化簡,再求值:
a2-b2
a
+(a-
2ab-b2
a
)
,其中a=
3
+1
,b=
3
-1

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

一次函數y=2x-1的圖象經過點(a,5),則a=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC是腰長為1的等腰直角三形,以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊,畫第二個等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊,畫第三個等腰Rt△ADE,…,依此類推,則第2014個等腰直角三角形的斜邊長是
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案