Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點(diǎn)B′在邊AB上，且與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，連接DB′，AD．

（1）求證：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）證明：∵DO⊥AB，

∴∠DOB=∠DOA=90°，

∴∠DOB=∠ACB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△DOB∽△ACB；

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB===10，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

∴DC=DO，

在Rt△ACD和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），

∴AC=AO=6，

設(shè)BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，

在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：DO²+OB²=BD²，

即（8﹣x）²+4²=x²，

解得：x=5，

∴BD的長(zhǎng)為5；

（3）解：∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，

∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，

∵∠B為銳角，

∴∠OB′D也為銳角，

∴∠AB′D為鈍角，

∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，AB′=DB′，

∵△DOB∽△ACB，

∴==，

設(shè)BD=5x，

則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，

∵AB′+B′O+BO=AB，

∴5x+4x+4x=10，

解得：x=，

∴BD=．