Question

15．如圖，正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G，下列結(jié)論：
①EC=2DG；           ②∠GDH=∠GHD；
③S_△CDG=S_{四邊形DHGE}；  ④圖中只有8個(gè)等腰三角形．
其中正確的有②③（填番號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知推出四邊形DECB是平行四邊形，得到BD=CE，BD∥CE，無(wú)法證出G為CE的中點(diǎn)；得到BD∥CE，推出∠DCG=∠BDC=45°，求出∠BGC=∠GBC，得到BC=CG=CD，求出∠CDG=∠DHG即可；根據(jù)三角形的面積公式推出△CDG和四邊形DHGE的面積相等；可得有9個(gè)等腰三角形．

解答 解：∵正方形ABCD，DE=AD，
∴AD∥BC，DE=BC，∠EDC=90°，
∴四邊形DECB是平行四邊形，
∴BD=CE，BD∥CE，
∵DE=BC=AD，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
要使CE=2DG，只要G為CE的中點(diǎn)即可，
但DE=DC，DF=BD，
∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中點(diǎn)，∴①錯(cuò)誤；
∵∠ADB=45°，DF=BD，
∴∠F=∠DBH=$\frac{1}{2}$∠ADB=22.5°，
∴∠DHG=180°-90°-22.5°=67.5°，
∵BD∥CE，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∵∠DHG=67.5°，
∴∠HGC=22.5°，∠DEC=45°，
∵∠BGC=180°-22.5°-135°=22.5°=∠GBC，
∴BC=CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°=∠DHG，∴②正確；
∵CG=DE=CD，∠DCE=∠DEC=45，∠HGC=22.5°，∠GDE=90-∠CDG=90-67.5=22.5°，
∴△DEG≌△CHG，
要使△CDG和四邊形DHGE的面積相等，只要△DEG和△CHG的面積相等即可，根據(jù)已知條件△DEG≌△CHG，
∴③S_△CDG=S_{四邊形DHGE}；正確，
等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④錯(cuò)誤；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)．綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．