Question

如圖1，過△ABC頂點A作BC邊上的高AD和中線AE，點D是垂足，點E是BC中點，規(guī)定λ_A=

DE

BE

．特別地，當(dāng)D、E重合時，規(guī)定λ_A=0．另外對λ_B、λ_C也作類似規(guī)定．

（1）①當(dāng)△ABC中，AB=AC時，則λ_A=

0

；②當(dāng)△ABC中，λ_A=λ_B=0時，則△ABC的形狀是

等邊三角形

；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=30°，求λ_A和λ_C的值；
（3）如圖3，正方形網(wǎng)格中，格點△ABC的λ_A=

2

；
（4）判斷下列三種說法的正誤（正確的打“√”錯誤的打“×”）
①若△ABC中λ_A＜1，則△ABC為銳角三角形

×

；
②若△ABC中λ_A=1，則△ABC為直角三角形

√

；
③若△ABC中λ_A＞1，則△ABC為鈍角三角形

√

；
（5）通過本題解答，同學(xué)們應(yīng)該有這樣的認(rèn)識：一個無論多么陌生、多么綜合的問題，其實都來自于書本已學(xué)的基礎(chǔ)知識．因此，我們今后應(yīng)重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)；同時在解決問題時或者解決問題后，應(yīng)該思考該問題的本質(zhì)和目的：①鞏固哪些基礎(chǔ)知識；②培養(yǎng)我們哪些方面能力；③向我們滲透哪些數(shù)學(xué)思想．本題之所以是一道綜合題，就是因為涉及到的知識點多、面廣．下面就請你談?wù)劚绢}中所用到的、已學(xué)過的性質(zhì)、定理、公理或判定等．（至少列舉兩條）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)λ_A定義與等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得λ_A=0，②根據(jù)λ_A定義與線段垂直平分線的性質(zhì)，即可證得△ABC的形狀是等邊三角形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半與特殊角的三角函數(shù)的值，即可求得答案；
（3）觀察圖形，根據(jù)λ_A的定義，即可求得λ_A的值；
（4）根據(jù)λ_A的定義，即可判定①②③的正確性；
（5）用到的定理：①等腰三角形中三線合一；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等．

解答： 解：（1）①如圖：
∵AB=AC，
∴AD是BC的高，也是BC的中線，
即D與E重合，
∴λ_A=

DE

BE

=0；

②當(dāng)△ABC中，λ_A=0時，
即DE=0，
∴AD是BC的高，也是BC的中線，
即AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵λ_B=0，
同理：BC=BA，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC的形狀是等邊三角形；

（2）如圖，作BC邊上的中線AD，過點C作CE⊥AB于E，作AB邊上的中線CF，又AC⊥DC，
∴λ_A=

CD

BD

=1，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=

EF

AF

=

EF

CF

=cos60°=

1

2

；

（3）如圖：λ_A=

DE

BE

=2；

（4）①×，②√，③√．

（5）用到的定理：①等腰三角形中三線合一；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等．
故答案為：（1）0，等邊三角形；（3）2；（4）①×，②√，③√．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題綜合性較強(qiáng)，屬于閱讀性與新定義性題目，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．