Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-1，4），且與直線y=-

1

2

x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（-3，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,菱形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先求得A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）設M的橫坐標是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標．

解答：解：（1）由直線y=-

1

2

x+1可知A（0，1），B（-3，

5

2

），又點（-1，4）經(jīng)過二次函數(shù)，
根據(jù)題意得：

c=1 9a-3b+c= 5 2 a-b+c=4

，
解得：

a=- 5 4 b=- 17 4 c=1

，
則二次函數(shù)的解析式是：y=-

5

4

x2-

17

4

x+1；

（2）設N（x，-

5

4

x²-

17

4

x+1），
則M（x，-

1

2

x+1），P（x，0）．
∴MN=PN-PM
=-

5

4

x²-

17

4

x+1-（-

1

2

x+1）
=-

5

4

x²-

15

4

x
=-

5

4

（x+

3

2

）²+

45

16

，
則當x=-

3

2

時，MN的最大值為

45

16

；

（3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，
即四邊形BCMN是菱形，
則MN=BC，且BC=MC，
即-

5

4

x²-

15

4

x=

5

2

，
且（-

1

2

x+1）²+（x+3）²=

25

4

，
解得：x=-1或x=-3（不合題意舍去），
故當N（-1，4）時，BM和NC互相垂直平分．

點評：本題是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定的綜合應用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決實際問題中求最大值或最小值問題．