Question

已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，－n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．

1.若點(diǎn)D坐標(biāo)是（－8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值

2.若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵D（-8，0），

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-8，代入y=x中，得y=-2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-2），

而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A（8，2），

∴k=8×2=16；       （4分）

2.∵N（0，-n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，

∴mn=k，B（-2m，-），C（-2m，-n），E（-m，-n），

∴S_矩形DCNO=2mn=2k，

∴S_△DBO=mn=k，

∴S_△OEN=mn=k，

∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，

∴k=4，

由直線y=x及雙曲線y=，得A（4，1），B（-4，-1），

∴C（-4，-2），M（2，2），

設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，

由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，得

解得a=b=，

∴直線CM的解析式是y=x+.（8分）

【解析】（1）將D的坐標(biāo)可得B的橫坐標(biāo)，代入解析式可得B的坐標(biāo)，又有A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易得k的值；

（2）根據(jù)題意B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，可得BCD的坐標(biāo)關(guān)于mn的表達(dá)式，進(jìn)而可以表示出矩形的面積；代入數(shù)據(jù)可得答案。