Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，頂點(diǎn)到x軸的距離為3，拋物線與x軸交于原點(diǎn)O（0，0）及點(diǎn)A，且OA=4．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣3，

由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

即4a﹣3=0，

解得a= ．

故拋物線的解析式為y= （x﹣2）2﹣3

（2）解：設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），

則直線OA′的解析式為y=﹣x①，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OA′=OA=4，

即x2+y2=16②，

由①②可得x=2 ，y=﹣2 ，

即點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2 ，﹣2 ），

把點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2 ，﹣2 ）代入解析式y(tǒng)= （x﹣2）2﹣3；

﹣2 ≠ （2 ﹣2）2﹣3，

即點(diǎn)A′不在該拋物線上

【解析】（1）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+3，由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而求出a的值即可；（2）設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），先求出直線OA′的解析式，根據(jù)OA′=OA=4，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上．