Question

（1）如圖①所示，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的。

（2）如圖②中所示，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

Answer 1

證明：（1）連結(jié)OA、OC， ∵點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心 ∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OCA S四邊形OFCG=2S△OFC=S△OAC， ∴； （2）如圖2，不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，OE交AC于點(diǎn)G， 作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為點(diǎn)H、K， 在四邊形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°， ∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°即∠1+∠2=120°， 又∵∠GOF=∠2+∠3=120°， ∴∠1=∠3， ∵AC=BC， ∴OH=OK， ∴△OFH≌△OGK， ∴S四邊形OFCG=S四邊形OHCK=S△ABC。